基于MATLAB的求解梁挠度的材料力学应用题（原文精简版）

第1章问题导入

1.1 问题描述

图示结构， $a=2m$ ，梁 $AB$ 和梁 $CD$ 的抗弯刚度均为 $E_1I_1=24\times 10^6N\cdot m^2$ 。两梁用长 $l=5m$ 、抗拉刚度 $E_2A_2=6\times 10^7N$ 的钢杆连接。若 $F=50kN$ ，试求梁 $AB$ 的 $B$ 点挠度。

1.2 问题假设

因为杆 $BE$ 只受轴力，假设杆 $BE$ 在结构中始终保持竖直。

杆 $AB$ 和杆 $CD$ 上的各点只存在竖直方向的位移，不存在水平方向的位移。

本文中使用的MATLAB版本是R2024b。

第2章常规解析法求解问题

在本章，我们将采用常规解析法求解问题，为以后MATLAB仿真法提供相互对照。

设杆 $BE$ 的轴力为 $f$ 。由题易得，杆 $BE$ 轴向拉伸。先分别求出杆 $AB$ 的 $B$ 点挠度和杆 $CD$ 的 $E$ 点挠度，进而可以得到杆 $BE$ 的长度，再与由杆 $BE$ 的轴向拉伸公式解出的杆 $BE$ 的长度相对照，可解出 $f$ 。

2.1 杆AB的分析及B点挠度

杆 $AB$ 的受力图如下。

杆 $AB$ 的剪力图与弯矩图如下。

有

F_{sAB}(x)=f\tag{2.1}

M_{AB}(x)=-fx+fa\tag{2.2}

由 $\frac{d^2\omega(x)}{dx^2}=-\frac{1}{EI}M(x)$ 得

\frac{d^2\omega_{AB}(x)}{dx^2}=-\frac{1}{E_1I_1}(-fx+fa)\tag{2.3}

两边同时积分，得

\theta_{AB}(x)=\frac{d\omega_{AB}(x)}{dx}=-\frac{1}{E_1I_1}\left(-\frac{1}{2}fx^2+fax\right)\tag{2.4}

\omega_{AB}(x)=-\frac{1}{E_1I_1}\left(-\frac{1}{6}fx^3+\frac{1}{2}fax^2\right)\tag{2.5}

$B$ 点的挠度，将 $x=a$ 代入 $(2.5)$ 式，得

\omega_{B}=\omega_{AB}(a)=-\frac{fa^3}{3E_1I_1}\tag{2.6}

2.2 杆CD的分析及D、E点挠度

杆 $CD$ 的受力图如下。

杆 $CD$ 的剪力图与弯矩图如下。

有

\begin{aligned} F_{sCD}(x)= \begin{cases} F-f,\quad &0\leq x\leq a\\ F,\quad &a<x\leq 2a \end{cases} \end{aligned} \tag{2.7}

\begin{aligned} M_{CD}(x)= \begin{cases} -(F-f)x+(2F-f)a,\quad &0\leq x\leq a\\ -Fx+2Fa,\quad &a<x\leq 2a \end{cases} \end{aligned} \tag{2.8}

当 $\pmb{0\leq x\leq a}$ 时，

F_{sCD}(x)=F-f\tag{2.9}

M_{CD}(x)=-(F-f)x+(2F-f)a\tag{2.10}

由 $\frac{d^2\omega(x)}{dx^2}=-\frac{1}{EI}M(x)$ 得

\frac{d^2\omega_{CD}(x)}{dx^2}=-\frac{1}{E_1I_1}[-(F-f)x+(2F-f)a]\tag{2.11}

两边同时积分，得

\theta_{CD}(x)=\frac{d\omega_{CD}(x)}{dx}=-\frac{1}{E_1I_1}\left[-\frac{1}{2}(F-f)x^2+(2F-f)ax\right]\tag{2.12}

\omega_{CD}(x)=-\frac{1}{E_1I_1}\left[-\frac{1}{6}(F-f)x^3+\frac{1}{2}(2F-f)ax^2\right]\tag{2.13}

$E$ 点的转角和挠度，将 $x=a$ 代入 $(2.12)$ 式和 $(2.13)$ 式，得

\theta_{E}=\theta_{CD}(a)=-\frac{1}{E_1I_1}\left(\frac{3}{2}F-\frac{1}{2}f\right)a^2\tag{2.14}

\omega_{E}=\omega_{CD}(a)=-\frac{1}{E_1I_1}\left(\frac{5}{6}F-\frac{1}{3}f\right)a^3\tag{2.15}

当 $\pmb{a<x\leq 2a}$ 时，

F_{sCD}(x)=F\tag{2.16}

M_{CD}(x)=-Fx+2Fa\tag{2.17}

由 $\frac{d^2\omega(x)}{dx^2}=-\frac{1}{EI}M(x)$ 得

\frac{d^2\omega_{CD}(x)}{dx^2}=-\frac{1}{E_1I_1}(-Fx+2Fa)\tag{2.18}

两边同时积分，得

\theta_{CD}(x)=\frac{d\omega_{CD}(x)}{dx}=-\frac{1}{E_1I_1}\left[-\frac{1}{2}Fx^2+2Fax-\frac{1}{2}fa^2\right]\tag{2.19}

\omega_{CD}(x)=-\frac{1}{E_1I_1}\left[-\frac{1}{6}Fx^3+Fax^2-\frac{1}{2}fa^2x+\frac{1}{6}fa^3\right]\tag{2.20}

2.3 杆BE的分析

杆 $BE$ 的轴力为 $f$ ，由 $\Delta l=\frac{F_Nl}{EA}$ 得

\Delta l_{BE}=\frac{fl}{E_2A_2}\tag{2.21}

另外，

\begin{aligned} \Delta l_{BE}=&\omega_{B}-\omega_{E}=-\frac{fa^3}{3E_1I_1}+\frac{1}{E_1I_1}\left(\frac{5}{6}F-\frac{1}{3}f\right)a^3\\ =&\frac{1}{E_1I_1}\left(\frac{5}{6}F-\frac{2}{3}f\right)a^3 \end{aligned} \tag{2.22}

联立 $(2.21)$ 式和 $(2.22)$ 式，得

f=\frac{5E_2A_2Fa^3}{6E_1I_1l+4E_2A_2a^3}\tag{2.23}

2.4 B点的挠度

将 $(2.23)$ 式代入 $(2.6)$ 式，得

\omega_{B}=-\frac{5E_2A_2Fa^6}{3E_1I_1(6E_1I_1l+4E_2A_2a^3)}=-\frac{1}{198}\approx-0.005051\tag{2.24}

第3章 MATLAB仿真法求解问题

3.1 自由端受集中载荷的悬臂梁仿真思路

如图，有一悬臂梁，其自由端受一集中载荷 $F$ 。

剪力图与弯矩图如下。

将梁划分为若干长度为 $dx$ 的微元。

分析从右往左数第一个（最右端）微元的受力状态。

其中， $F_{s1}$ 和 $M_1$ 是从右往左数第二个微元作用在它上的，为维持平衡， $F_{s1}和$ M_1$需满足

\begin{aligned} \begin{cases} F_{s1}=F\\ M_1=Fdx \end{cases} \end{aligned} \tag{3.1}

由剪力图与弯矩图可知，这一点所受到的剪力和弯矩为

\begin{aligned} \begin{cases} F_{s1}'=F\\ M_1'=0 \end{cases} \end{aligned} \tag{3.2}

分析从右往左数第二个微元的受力状态。

其中， $F_{s2}$ 和 $M_2$ 是从右往左数第三个微元作用在它上的，为维持平衡， $F_{s2}$ 和 $M_2$ 需满足

\begin{aligned} \begin{cases} F_{s2}=F\\ M_2=2Fdx \end{cases} \end{aligned} \tag{3.3}

由剪力图与弯矩图可知，这一点所受到的剪力和弯矩为

\begin{aligned} \begin{cases} F_{s2}'=F=F_{s1}\\ M_2'=Fdx=M_1 \end{cases} \end{aligned} \tag{3.4}

由此可以得出梁上某一点受到的剪力和弯矩，取决于这一点处微元右侧面所受的力与力矩，大小与其相等，方向与其相反。

弯矩是通过剪力在相邻微元中传递的，宏观上来看，是此微元右侧各点所受到的剪力产生微小力矩（长度为 $\pmb{dx}$ ）的总和。

3.2 算法思路

设微元长度为 $dx$ ，长度为a的范围内微元数为 $nx$ 。则可以建立一个 $1\times nx$ 的矩阵，来描述杆 $AB$ 各微元处的剪力，称为剪力矩阵。同样，可以建立一个 $1\times 2nx$ 的杆 $CD$ 的剪力矩阵。用相同的方法，建立弯矩矩阵和挠度矩阵来描述杆 $AB$ 和杆 $CD$ 各微元处的弯矩和挠度。

这三种矩阵之间是存在相互联系的。对于剪力矩阵，在除了 $B$ 点和 $E$ 点之外的所有的点，它的剪力等于右侧相邻点的剪力，由此，可以根据已知的自由端的力，迭代出每一点的剪力。对于弯矩矩阵，每一点弯矩的值，等于右侧各点所受到的剪力产生微小力矩（长度为 $dx$ ）的总和。对于挠度矩阵，每一点挠度函数二阶导数的值，等于这一点弯矩的值乘以 $-\frac{1}{EI}$ 。再由辛普森法来求出这一点的挠度的值。

另外还有边界条件。由第2章剪力图可知，杆 $AB$ 与杆 $CE$ 同一竖直方向上的两点，剪力和为 $F$ 。

我们不知道杆 $BE$ 的轴力，可以假定一个初始值。判断这个轴力值合不合适的标准是：由杆 $\pmb{AB}$ 和杆 $\pmb{CD}$ 的两个挠度矩阵，所确定的 $\pmb{B}$ 点处挠度值 $\pmb{\omega_{B}}$ 和 $\pmb{E}$ 点处挠度值 $\pmb{\omega_{E}}$ ，计算两者的差值 $\pmb{\omega_{B}-\omega_{E}}$ 。由轴向拉伸公式所确定的杆 $\pmb{BE}$ 的伸长量 $\pmb{\Delta l_{BE}}$ （杆 $\pmb{BE}$ 轴力与杆 $\pmb{AB}$ 剪力相同）。应有：

\pmb{\Delta l_{BE}=\omega_{B}-\omega_{E}\tag{3.5}}

如果假设的轴力不合适，我们可以对这个值进行微量的增加，再校验。重复以上，直到轴力合适。

由合适的轴力可以迭代出杆 $AB$ 的挠度矩阵，进而得到 $B$ 点处的挠度。

具体的MATLAB源代码及其运行结果见下。

源代码已上传Github，可以访问链接下载源代码。

3.2 MATLAB源代码

clc;
clear;
close all;
format short
%% 参数设置
a = 2;
l = 5;
F = 50 * 10 ^ 3;
E1I1 = 24 * 10 ^ 6;
E2A2 = 6 * 10 ^ 7;
%% 解析解计算
analytical_solution = - (5 * E2A2 * F * a ^ 6) / (3 * E1I1) / (6 * E1I1 * l + 4 * E2A2 * a ^ 3);
%% 离散化参数
dx = 0.005;
% 微元长度
df = 0.5;
% 迭代增加轴力的步长
nx = a / dx;
% 长度为a的微元数
%% 初始化边界条件
F_AB_end = df;
% 杆AB末端剪力初始猜测值
F_CD_end = F;
% 杆CD末端集中力
%% 迭代模拟
for i = 1 : 10 ^ 10
    % 末端尽量大，使充分迭代
    [F_AB, M_AB, W_AB, F_CD, M_CD, W_CD, diff_w, diff_L, w_B] = sim(F_AB_end, F_CD_end, l, F, E1I1, E2A2, dx, nx);
    if mod(i, 100) == 0
        % 进度条
        clc;
        disp('程序运行进度:')
        a = w_B / analytical_solution * 100;
        s = ['[', repmat('*', 1, floor(a / 4)), repmat('-', 1, 50 floor(a / 4)), ']'];
        fprintf('%s', s)
        fprintf('%2.2f%%', a)
    end
    if abs(diff_w - diff_L) <= 0.000001
        % diff_w与diff_L近似相等
        clc;
        fprintf('算法值为: %.4f\n', w_B);
        fprintf('解析值为: %.4f\n', analytical_solution);
        fprintf('算法值与解析值相对误差为: %.4f%%\n', abs((w_B - analytical_solution) / analytical_solution) * 100);
        disp('杆AB的挠度矩阵:')
        disp(W_AB)
        disp('杆CD的挠度矩阵:')
        disp(W_CD)
        break
    end
    F_AB_end = F_AB_end + df;
end
%% 定义模拟函数
function [F_AB, M_AB, W_AB, F_CD, M_CD, W_CD, diff_w, diff_L, w_B] = sim(F_AB_end, F_CD_end, l, F, E1I1, E2A2, dx, nx)
    % 初始化杆件状态
    % 杆AB的剪力、弯矩、挠度矩阵
    F_AB = zeros(1, nx);
    M_AB = zeros(1, nx);
    W_AB = zeros(1, nx);
    % 杆CD的剪力、弯矩、挠度矩阵
    F_CD = zeros(1, 2 * nx);
    M_CD = zeros(1, 2 * nx);
    W_CD = zeros(1, 2 * nx);
    % 初始化边界条件
    F_AB(end) = F_AB_end;
    F_CD(end) = F_CD_end;
    % 剪力的传递
    % 杆AB
    for i = nx-1 : -1 : 1
        F_AB(i) = F_AB(i + 1);
    end
    % 杆CD
    for i = 2 * nx - 1 : - 1 : nx + 1
        F_CD(i) = F_CD(i + 1);
    end
    for i = nx - 1 : - 1 : 1
        F_CD(i) = F - F_AB(i);
    end
    % 弯矩的传递
    % 杆AB
    for i = nx - 1 : - 1 : 1
        M_AB(i) = sum(F_AB(i + 1 : end) * dx);
    end
    % 杆CD
    for i = 2 * nx - 1 : - 1 : 1
        M_CD(i) = sum(F_CD(i + 1 : end) * dx);
    end
    % 挠度的传递
    % 挠度的二阶导数
    W2_AB = - M_AB / E1I1;
    W2_CD = - M_CD / E1I1;
    % 第一次积分，辛普森法数值积分
    slope_AB = simpson_integrate(W2_AB, dx);
    slope_CD = simpson_integrate(W2_CD, dx);
    % 第二次积分，辛普森法数值积分
    W_AB = simpson_integrate(slope_AB, dx);
    W_CD = simpson_integrate(slope_CD, dx);
    % 输出结果
    diff_w = W_AB(nx) - W_CD(nx);
    diff_L = F_AB(nx) * l / E2A2;
    w_B = W_AB(nx);
end
%% 辛普森法数值积分
function y = simpson_integrate(f, h)
    % 输入:
    % f - 导数在等距点上的值向量 [f0, f1, f2, ..., fN]
    % h - 采样步长
    % 输出:
    % y - 原函数在对应点上的值向量 [y0, y1, y2, ..., yN]
    N = length(f) - 1; % 采样点数-1
    y = zeros(1, N + 1); % 存储原函数y的值
    % 初始条件
    y(1) = 0;
    % 逐点积分计算原函数y
    for k = 1 : N
        % 计算原函数y(k+1)
        if mod(k, 2) == 1
            % 奇步长: 梯形法则
            y(k + 1) = y(k) + (h / 2) * (f(k) + f(k + 1));
        else
            % 偶步长: 辛普森法则
            y(k + 1) = y(k - 1) + (h / 3) * (f(k - 1) + 4 * f(k) + f(k + 1));
        end
    end
end

3.3 MATLAB代码运行结果

算法值为: -0.0050

解析值为: -0.0051

算法值与解析值相对误差为: 0.8236%

杆AB的挠度矩阵:

  列 1 至 6

         0   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 7 至 12

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 13 至 18

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 19 至 24

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 25 至 30

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 31 至 36

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0001   -0.0001

  列 37 至 42

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001

  列 43 至 48

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001

  列 49 至 54

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001

  列 55 至 60

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0002   -0.0002

  列 61 至 66

   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002

  列 67 至 72

   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002

  列 73 至 78

   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0003   -0.0003

  列 79 至 84

   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003

  列 85 至 90

   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003

  列 91 至 96

   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004

  列 97 至 102

   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004

  列 103 至 108

   -0.0004   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005

  列 109 至 114

   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005

  列 115 至 120

   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006

  列 121 至 126

   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0007   -0.0007

  列 127 至 132

   -0.0007   -0.0007   -0.0007   -0.0007   -0.0007   -0.0007

  列 133 至 138

   -0.0007   -0.0007   -0.0008   -0.0008   -0.0008   -0.0008

  列 139 至 144

   -0.0008   -0.0008   -0.0008   -0.0008   -0.0008   -0.0008

  列 145 至 150

   -0.0009   -0.0009   -0.0009   -0.0009   -0.0009   -0.0009

  列 151 至 156

   -0.0009   -0.0009   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0010

  列 157 至 162

   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0011

  列 163 至 168

   -0.0011   -0.0011   -0.0011   -0.0011   -0.0011   -0.0011

  列 169 至 174

   -0.0011   -0.0012   -0.0012   -0.0012   -0.0012   -0.0012

  列 175 至 180

   -0.0012   -0.0012   -0.0012   -0.0013   -0.0013   -0.0013

  列 181 至 186

   -0.0013   -0.0013   -0.0013   -0.0013   -0.0014   -0.0014

  列 187 至 192

   -0.0014   -0.0014   -0.0014   -0.0014   -0.0014   -0.0014

  列 193 至 198

   -0.0015   -0.0015   -0.0015   -0.0015   -0.0015   -0.0015

  列 199 至 204

   -0.0015   -0.0016   -0.0016   -0.0016   -0.0016   -0.0016

  列 205 至 210

   -0.0016   -0.0016   -0.0017   -0.0017   -0.0017   -0.0017

  列 211 至 216

   -0.0017   -0.0017   -0.0017   -0.0018   -0.0018   -0.0018

  列 217 至 222

   -0.0018   -0.0018   -0.0018   -0.0018   -0.0019   -0.0019

  列 223 至 228

   -0.0019   -0.0019   -0.0019   -0.0019   -0.0020   -0.0020

  列 229 至 234

   -0.0020   -0.0020   -0.0020   -0.0020   -0.0020   -0.0021

  列 235 至 240

   -0.0021   -0.0021   -0.0021   -0.0021   -0.0021   -0.0022

  列 241 至 246

   -0.0022   -0.0022   -0.0022   -0.0022   -0.0022   -0.0023

  列 247 至 252

   -0.0023   -0.0023   -0.0023   -0.0023   -0.0023   -0.0023

  列 253 至 258

   -0.0024   -0.0024   -0.0024   -0.0024   -0.0024   -0.0024

  列 259 至 264

   -0.0025   -0.0025   -0.0025   -0.0025   -0.0025   -0.0025

  列 265 至 270

   -0.0026   -0.0026   -0.0026   -0.0026   -0.0026   -0.0026

  列 271 至 276

   -0.0027   -0.0027   -0.0027   -0.0027   -0.0027   -0.0027

  列 277 至 282

   -0.0028   -0.0028   -0.0028   -0.0028   -0.0028   -0.0029

  列 283 至 288

   -0.0029   -0.0029   -0.0029   -0.0029   -0.0029   -0.0030

  列 289 至 294

   -0.0030   -0.0030   -0.0030   -0.0030   -0.0030   -0.0031

  列 295 至 300

   -0.0031   -0.0031   -0.0031   -0.0031   -0.0031   -0.0032

  列 301 至 306

   -0.0032   -0.0032   -0.0032   -0.0032   -0.0033   -0.0033

  列 307 至 312

   -0.0033   -0.0033   -0.0033   -0.0033   -0.0034   -0.0034

  列 313 至 318

   -0.0034   -0.0034   -0.0034   -0.0035   -0.0035   -0.0035

  列 319 至 324

   -0.0035   -0.0035   -0.0035   -0.0036   -0.0036   -0.0036

  列 325 至 330

   -0.0036   -0.0036   -0.0036   -0.0037   -0.0037   -0.0037

  列 331 至 336

   -0.0037   -0.0037   -0.0038   -0.0038   -0.0038   -0.0038

  列 337 至 342

   -0.0038   -0.0039   -0.0039   -0.0039   -0.0039   -0.0039

  列 343 至 348

   -0.0039   -0.0040   -0.0040   -0.0040   -0.0040   -0.0040

  列 349 至 354

   -0.0041   -0.0041   -0.0041   -0.0041   -0.0041   -0.0041

  列 355 至 360

   -0.0042   -0.0042   -0.0042   -0.0042   -0.0042   -0.0043

  列 361 至 366

   -0.0043   -0.0043   -0.0043   -0.0043   -0.0044   -0.0044

  列 367 至 372

   -0.0044   -0.0044   -0.0044   -0.0044   -0.0045   -0.0045

  列 373 至 378

   -0.0045   -0.0045   -0.0045   -0.0046   -0.0046   -0.0046

  列 379 至 384

   -0.0046   -0.0046   -0.0047   -0.0047   -0.0047   -0.0047

  列 385 至 390

   -0.0047   -0.0047   -0.0048   -0.0048   -0.0048   -0.0048

  列 391 至 396

   -0.0048   -0.0049   -0.0049   -0.0049   -0.0049   -0.0049

  列 397 至 400

   -0.0050   -0.0050   -0.0050   -0.0050

杆CD的挠度矩阵:

  列 1 至 6

         0   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 7 至 12

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 13 至 18

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 19 至 24

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 25 至 30

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 31 至 36

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001

  列 37 至 42

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001

  列 43 至 48

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001

  列 49 至 54

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0002   -0.0002

  列 55 至 60

   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002

  列 61 至 66

   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002

  列 67 至 72

   -0.0002   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003

  列 73 至 78

   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003

  列 79 至 84

   -0.0003   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004

  列 85 至 90

   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004

  列 91 至 96

   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005

  列 97 至 102

   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0006   -0.0006   -0.0006

  列 103 至 108

   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006

  列 109 至 114

   -0.0007   -0.0007   -0.0007   -0.0007   -0.0007   -0.0007

  列 115 至 120

   -0.0007   -0.0007   -0.0008   -0.0008   -0.0008   -0.0008

  列 121 至 126

   -0.0008   -0.0008   -0.0008   -0.0009   -0.0009   -0.0009

  列 127 至 132

   -0.0009   -0.0009   -0.0009   -0.0009   -0.0010   -0.0010

  列 133 至 138

   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0011

  列 139 至 144

   -0.0011   -0.0011   -0.0011   -0.0011   -0.0011   -0.0012

  列 145 至 150

   -0.0012   -0.0012   -0.0012   -0.0012   -0.0012   -0.0012

  列 151 至 156

   -0.0013   -0.0013   -0.0013   -0.0013   -0.0013   -0.0014

  列 157 至 162

   -0.0014   -0.0014   -0.0014   -0.0014   -0.0014   -0.0015

  列 163 至 168

   -0.0015   -0.0015   -0.0015   -0.0015   -0.0015   -0.0016

  列 169 至 174

   -0.0016   -0.0016   -0.0016   -0.0016   -0.0017   -0.0017

  列 175 至 180

   -0.0017   -0.0017   -0.0017   -0.0018   -0.0018   -0.0018

  列 181 至 186

   -0.0018   -0.0018   -0.0019   -0.0019   -0.0019   -0.0019

  列 187 至 192

   -0.0019   -0.0020   -0.0020   -0.0020   -0.0020   -0.0020

  列 193 至 198

   -0.0021   -0.0021   -0.0021   -0.0021   -0.0022   -0.0022

  列 199 至 204

   -0.0022   -0.0022   -0.0022   -0.0023   -0.0023   -0.0023

  列 205 至 210

   -0.0023   -0.0024   -0.0024   -0.0024   -0.0024   -0.0024

  列 211 至 216

   -0.0025   -0.0025   -0.0025   -0.0025   -0.0026   -0.0026

  列 217 至 222

   -0.0026   -0.0026   -0.0027   -0.0027   -0.0027   -0.0027

  列 223 至 228

   -0.0028   -0.0028   -0.0028   -0.0028   -0.0029   -0.0029

  列 229 至 234

   -0.0029   -0.0029   -0.0030   -0.0030   -0.0030   -0.0030

  列 235 至 240

   -0.0031   -0.0031   -0.0031   -0.0031   -0.0032   -0.0032

  列 241 至 246

   -0.0032   -0.0032   -0.0033   -0.0033   -0.0033   -0.0034

  列 247 至 252

   -0.0034   -0.0034   -0.0034   -0.0035   -0.0035   -0.0035

  列 253 至 258

   -0.0035   -0.0036   -0.0036   -0.0036   -0.0037   -0.0037

  列 259 至 264

   -0.0037   -0.0037   -0.0038   -0.0038   -0.0038   -0.0039

  列 265 至 270

   -0.0039   -0.0039   -0.0039   -0.0040   -0.0040   -0.0040

  列 271 至 276

   -0.0041   -0.0041   -0.0041   -0.0042   -0.0042   -0.0042

  列 277 至 282

   -0.0042   -0.0043   -0.0043   -0.0043   -0.0044   -0.0044

  列 283 至 288

   -0.0044   -0.0045   -0.0045   -0.0045   -0.0046   -0.0046

  列 289 至 294

   -0.0046   -0.0047   -0.0047   -0.0047   -0.0047   -0.0048

  列 295 至 300

   -0.0048   -0.0048   -0.0049   -0.0049   -0.0049   -0.0050

  列 301 至 306

   -0.0050   -0.0050   -0.0051   -0.0051   -0.0051   -0.0052

  列 307 至 312

   -0.0052   -0.0052   -0.0053   -0.0053   -0.0053   -0.0054

  列 313 至 318

   -0.0054   -0.0054   -0.0055   -0.0055   -0.0055   -0.0056

  列 319 至 324

   -0.0056   -0.0057   -0.0057   -0.0057   -0.0058   -0.0058

  列 325 至 330

   -0.0058   -0.0059   -0.0059   -0.0059   -0.0060   -0.0060

  列 331 至 336

   -0.0060   -0.0061   -0.0061   -0.0062   -0.0062   -0.0062

  列 337 至 342

   -0.0063   -0.0063   -0.0063   -0.0064   -0.0064   -0.0065

  列 343 至 348

   -0.0065   -0.0065   -0.0066   -0.0066   -0.0066   -0.0067

  列 349 至 354

   -0.0067   -0.0068   -0.0068   -0.0068   -0.0069   -0.0069

  列 355 至 360

   -0.0069   -0.0070   -0.0070   -0.0071   -0.0071   -0.0071

  列 361 至 366

   -0.0072   -0.0072   -0.0073   -0.0073   -0.0073   -0.0074

  列 367 至 372

   -0.0074   -0.0075   -0.0075   -0.0075   -0.0076   -0.0076

  列 373 至 378

   -0.0077   -0.0077   -0.0077   -0.0078   -0.0078   -0.0079

  列 379 至 384

   -0.0079   -0.0079   -0.0080   -0.0080   -0.0081   -0.0081

  列 385 至 390

   -0.0082   -0.0082   -0.0082   -0.0083   -0.0083   -0.0084

  列 391 至 396

   -0.0084   -0.0085   -0.0085   -0.0085   -0.0086   -0.0086

  列 397 至 402

   -0.0087   -0.0087   -0.0088   -0.0088   -0.0088   -0.0089

  列 403 至 408

   -0.0089   -0.0090   -0.0090   -0.0091   -0.0091   -0.0091

  列 409 至 414

   -0.0092   -0.0092   -0.0093   -0.0093   -0.0094   -0.0094

  列 415 至 420

   -0.0095   -0.0095   -0.0095   -0.0096   -0.0096   -0.0097

  列 421 至 426

   -0.0097   -0.0098   -0.0098   -0.0099   -0.0099   -0.0100

  列 427 至 432

   -0.0100   -0.0101   -0.0101   -0.0101   -0.0102   -0.0102

  列 433 至 438

   -0.0103   -0.0103   -0.0104   -0.0104   -0.0105   -0.0105

  列 439 至 444

   -0.0106   -0.0106   -0.0107   -0.0107   -0.0108   -0.0108

  列 445 至 450

   -0.0109   -0.0109   -0.0109   -0.0110   -0.0110   -0.0111

  列 451 至 456

   -0.0111   -0.0112   -0.0112   -0.0113   -0.0113   -0.0114

  列 457 至 462

   -0.0114   -0.0115   -0.0115   -0.0116   -0.0116   -0.0117

  列 463 至 468

   -0.0117   -0.0118   -0.0118   -0.0119   -0.0119   -0.0120

  列 469 至 474

   -0.0120   -0.0121   -0.0121   -0.0122   -0.0122   -0.0123

  列 475 至 480

   -0.0123   -0.0124   -0.0124   -0.0125   -0.0125   -0.0126

  列 481 至 486

   -0.0126   -0.0127   -0.0127   -0.0128   -0.0128   -0.0129

  列 487 至 492

   -0.0129   -0.0130   -0.0130   -0.0131   -0.0131   -0.0132

  列 493 至 498

   -0.0133   -0.0133   -0.0134   -0.0134   -0.0135   -0.0135

  列 499 至 504

   -0.0136   -0.0136   -0.0137   -0.0137   -0.0138   -0.0138

  列 505 至 510

   -0.0139   -0.0139   -0.0140   -0.0140   -0.0141   -0.0141

  列 511 至 516

   -0.0142   -0.0143   -0.0143   -0.0144   -0.0144   -0.0145

  列 517 至 522

   -0.0145   -0.0146   -0.0146   -0.0147   -0.0147   -0.0148

  列 523 至 528

   -0.0148   -0.0149   -0.0150   -0.0150   -0.0151   -0.0151

  列 529 至 534

   -0.0152   -0.0152   -0.0153   -0.0153   -0.0154   -0.0154

  列 535 至 540

   -0.0155   -0.0156   -0.0156   -0.0157   -0.0157   -0.0158

  列 541 至 546

   -0.0158   -0.0159   -0.0159   -0.0160   -0.0161   -0.0161

  列 547 至 552

   -0.0162   -0.0162   -0.0163   -0.0163   -0.0164   -0.0165

  列 553 至 558

   -0.0165   -0.0166   -0.0166   -0.0167   -0.0167   -0.0168

  列 559 至 564

   -0.0168   -0.0169   -0.0170   -0.0170   -0.0171   -0.0171

  列 565 至 570

   -0.0172   -0.0172   -0.0173   -0.0174   -0.0174   -0.0175

  列 571 至 576

   -0.0175   -0.0176   -0.0176   -0.0177   -0.0178   -0.0178

  列 577 至 582

   -0.0179   -0.0179   -0.0180   -0.0181   -0.0181   -0.0182

  列 583 至 588

   -0.0182   -0.0183   -0.0183   -0.0184   -0.0185   -0.0185

  列 589 至 594

   -0.0186   -0.0186   -0.0187   -0.0188   -0.0188   -0.0189

  列 595 至 600

   -0.0189   -0.0190   -0.0190   -0.0191   -0.0192   -0.0192

  列 601 至 606

   -0.0193   -0.0193   -0.0194   -0.0195   -0.0195   -0.0196

  列 607 至 612

   -0.0196   -0.0197   -0.0198   -0.0198   -0.0199   -0.0199

  列 613 至 618

   -0.0200   -0.0201   -0.0201   -0.0202   -0.0202   -0.0203

  列 619 至 624

   -0.0204   -0.0204   -0.0205   -0.0205   -0.0206   -0.0207

  列 625 至 630

   -0.0207   -0.0208   -0.0208   -0.0209   -0.0210   -0.0210

  列 631 至 636

   -0.0211   -0.0211   -0.0212   -0.0213   -0.0213   -0.0214

  列 637 至 642

   -0.0214   -0.0215   -0.0216   -0.0216   -0.0217   -0.0217

  列 643 至 648

   -0.0218   -0.0219   -0.0219   -0.0220   -0.0221   -0.0221

  列 649 至 654

   -0.0222   -0.0222   -0.0223   -0.0224   -0.0224   -0.0225

  列 655 至 660

   -0.0225   -0.0226   -0.0227   -0.0227   -0.0228   -0.0229

  列 661 至 666

   -0.0229   -0.0230   -0.0230   -0.0231   -0.0232   -0.0232

  列 667 至 672

   -0.0233   -0.0233   -0.0234   -0.0235   -0.0235   -0.0236

  列 673 至 678

   -0.0237   -0.0237   -0.0238   -0.0238   -0.0239   -0.0240

  列 679 至 684

   -0.0240   -0.0241   -0.0242   -0.0242   -0.0243   -0.0243

  列 685 至 690

   -0.0244   -0.0245   -0.0245   -0.0246   -0.0247   -0.0247

  列 691 至 696

   -0.0248   -0.0248   -0.0249   -0.0250   -0.0250   -0.0251

  列 697 至 702

   -0.0252   -0.0252   -0.0253   -0.0253   -0.0254   -0.0255

  列 703 至 708

   -0.0255   -0.0256   -0.0257   -0.0257   -0.0258   -0.0259

  列 709 至 714

   -0.0259   -0.0260   -0.0260   -0.0261   -0.0262   -0.0262

  列 715 至 720

   -0.0263   -0.0264   -0.0264   -0.0265   -0.0265   -0.0266

  列 721 至 726

   -0.0267   -0.0267   -0.0268   -0.0269   -0.0269   -0.0270

  列 727 至 732

   -0.0271   -0.0271   -0.0272   -0.0272   -0.0273   -0.0274

  列 733 至 738

   -0.0274   -0.0275   -0.0276   -0.0276   -0.0277   -0.0278

  列 739 至 744

   -0.0278   -0.0279   -0.0279   -0.0280   -0.0281   -0.0281

  列 745 至 750

   -0.0282   -0.0283   -0.0283   -0.0284   -0.0285   -0.0285

  列 751 至 756

   -0.0286   -0.0287   -0.0287   -0.0288   -0.0288   -0.0289

  列 757 至 762

   -0.0290   -0.0290   -0.0291   -0.0292   -0.0292   -0.0293

  列 763 至 768

   -0.0294   -0.0294   -0.0295   -0.0295   -0.0296   -0.0297

  列 769 至 774

   -0.0297   -0.0298   -0.0299   -0.0299   -0.0300   -0.0301

  列 775 至 780

   -0.0301   -0.0302   -0.0303   -0.0303   -0.0304   -0.0304

  列 781 至 786

   -0.0305   -0.0306   -0.0306   -0.0307   -0.0308   -0.0308

  列 787 至 792

   -0.0309   -0.0310   -0.0310   -0.0311   -0.0312   -0.0312

  列 793 至 798

   -0.0313   -0.0313   -0.0314   -0.0315   -0.0315   -0.0316

  列 799 至 800

   -0.0317   -0.0317

第4章总结

4.1 研究内容与方法概述

本研究围绕杆结构的挠度求解问题，结合理论分析与数值仿真展开研究。通过常规解析法，基于材料力学基本公式（如挠曲线微分方程、轴向拉伸公式），推导各杆段的剪力、弯矩及挠度表达式，通过联立方程求解未知轴力，最终得到 $B$ 点挠度；借助MATLAB仿真法，将杆离散为微元，通过迭代传递剪力、弯矩与挠度的二阶导数，利用数值积分（辛普森法）计算挠度，并通过轴力迭代使钢杆变形与结构挠度协调，实现对复杂结构的量化分析。

4.2 方法对比与结果分析

常规解析法：理论推导严谨，物理意义明确，适用于规则结构的精确求解，但对于多构件耦合或复杂载荷情况，公式推导繁琐，易受数学处理能力限制。本研究中解析解与仿真结果误差小于 $1\%$ ，验证了理论模型的准确性。

MATLAB仿真法：通过离散化和迭代算法，将连续结构转化为数值模型，灵活性高，可适应复杂边界条件与载荷分布。本研究中通过设置微元长度 $dx=0.005m$ 和轴力迭代步长 $df=0.5N$ ，实现了高精度求解，且算法值与解析值高度吻合，证明了仿真方法的可靠性。

4.3 工程应用价值

本研究建立的解析与仿真方法为杆结构的挠度分析提供了实用工具。MATLAB仿真法尤其适用于工程中常见的复杂结构（如变截面梁、多支点结构），可通过调整参数快速模拟不同工况，为结构设计与优化提供数据支持。此外，两种方法的对比分析为数值模型的验证提供了参考，有助于提升工程计算的准确性与效率。

4.4 未来展望

后续研究可进一步拓展模型复杂度，如考虑变刚度杆、非线性材料特性或动态载荷作用，同时可优化MATLAB算法（如引入自适应步长积分或更高效的迭代策略），以提升计算效率与适用范围。该研究方法也可延伸至其他力学问题（如应力分析、振动响应），为工程力学的数值模拟提供普适性思路。

致谢

感谢房凯老师这一个学期的耐心教导！

感谢父母与朋友在生活中无微的帮助！

在我这么多朋友中，我尤其感谢远在河北某本科上学的异父异母的亲兄弟——Hana，感谢他在编程方面对我的帮助。感谢他凌晨一点半还热心地教我怎样在Github上上传文件，我的博客网站得以建成，他功不可没。

基于MATLAB的求解梁挠度的材料力学应用题（原文精简版）

第1章 问题导入

1.1 问题描述

1.2 问题假设

第2章 常规解析法求解问题

2.1 杆AB的分析及B点挠度

2.2 杆CD的分析及D、E点挠度

2.3 杆BE的分析

2.4 B点的挠度

第3章 MATLAB仿真法求解问题

3.1 自由端受集中载荷的悬臂梁仿真思路

3.2 算法思路

3.2 MATLAB源代码

3.3 MATLAB代码运行结果

第4章 总结

4.1 研究内容与方法概述

4.2 方法对比与结果分析

4.3 工程应用价值

4.4 未来展望

致谢

第1章问题导入

第2章常规解析法求解问题

第4章总结