一种正实数集范围内的广义质因数分解定理

第1章一种正实数集范围内的广义质因数分解定理

设有一正实数 $r_0$ ，存在唯一的实数数列 $r_n=\{r_1,r_2,...\}$ ，满足

r_0=q_1^{r_1}\cdot q_2^{r_2}\cdot q_3^{r_3}...=\prod_{i=1}^{\infty}q_i^{r_i}

其中， $q_n=\{q_1,q_2,...\}=\{2,3,...\}$ 为质数数列。

证明如下：

假设定理不成立，对于一个正实数 $r_0$ ，存在至少两个不同的实数数列 $r_n=\{r_1,r_2,...\}$ 与 $s_n=\{s_1,s_2,...\}$ ，满足

r_0=\prod_{i=1}^{\infty}q_i^{r_i}=\prod_{i=1}^{\infty}q_i^{s_i}

对于上式第二个等号，两边同时取自然对数，得

\sum_{i=1}^{\infty}r_ilnq_i=\sum_{i=1}^{\infty}s_ilnq_i

由质数的定义可知，

lnq_1,lnq_2,lnq_3,...

之间线性无关。

则必有 $r_i=s_i$ ，即 $r_n=s_n$ ，与假设不符，原定理得证。

当分解整数时，定理就退化为普通的质因数分解定理，此处不再赘述。

设有一小数 $\frac{m}{n}$ ， $m$ 、 $n$ 间互质。由整数的质因数分解定理可得，

m=\prod_{i=1}^{\infty}q_i^{r_i}

n=\prod_{i=1}^{\infty}q_i^{s_i}

\frac{m}{n}=\prod_{i=1}^{\infty}q_i^{r_i-s_i}

由于 $r_i\in \mathbb{N}$ ， $s_i\in \mathbb{N}$ ，故 $r_i-s_i\in \mathbb{Z}$

例， $0.2=5^{-1}...$ ； $3.14159=2^{-5}\cdot 5^{-5}\cdot 314159^1$

设有一根式 $r^{\frac{m}{n}}$ ， $m$ 、 $n$ 间互质。由整数的质因数分解定理可得，

r=\prod_{i=1}^{\infty}q_i^{r_i}

r^{\frac{m}{n}}=\prod_{i=1}^{\infty}q_i^{\frac{m}{n}r_i}

由于 $r_i\in \mathbb{N}$ ， $\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}$ ，故 $\frac{m}{n}r_i\in \mathbb{Q}$

例， $\sqrt{2}=2^{0.5}$

设有一实数 $r_0$ ，满足

r_0=\prod_{i=1}^{\infty}q_i^{r_i}

等式两边取对数，得

lnr_0=\sum_{i=1}^{\infty}r_ilnq_i

实际计算中， $lnr_0$ 会取数值解 $(lnr_0)^*$ ，上式等号右侧也会取有限项，故有

(lnr_0)^*=\sum_{i=1}^{n}r_ilnq_i

由于 $\{lnq_1,lnq_2,...,lnq_n\}$ 线性无关，故 $\{r_1,r_2,...,r_n\}$ 唯一。