基于Abaqus的圣维南原理验证（原文精简版）

第1章圣维南原理

圣维南原理（Saint Venant‘s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关（即与力的分布形式无关）；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。目前没有明确的数学表达证明圣维南原理，但在实际工程和实验测量中得到验证。本文将设计数值模拟进行验证。

本文中使用的Abaqus版本是2025。

第2章 Abaqus模型构建与应力云图

2.1 集中力1000 $N$

集中力Abaqus源文件点此处下载。

图2.1 悬臂梁有限元分析模型（自由端受集中力1000N）

图2.2 悬臂梁固定端边界条件（自由端受集中力1000N）

图2.3 悬臂梁自由端载荷条件（自由端受集中力1000N）

图2.4 悬臂梁应力云图（自由端受集中力1000N）

2.2 均布载荷10 ${N/m}^{2}$

均布载荷Abaqus源文件点此处下载。

图2.5 悬臂梁有限元分析模型（自由端受均布载荷10

{N/m}^{2}

）

图2.6 悬臂梁固定端边界条件（自由端受均布载荷10

{N/m}^{2}

>）

图2.7 悬臂梁自由端载荷条件（自由端受均布载荷10

{N/m}^{2}

）

图2.8 悬臂梁应力云图（自由端受均布载荷10

{N/m}^{2}

）

2.3 两种状况下中轴线应力比较

沿板长方向建立应力提取路径，比较两种荷载作用下的应力，如下表。

表2.1 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S11应力比较

X	集中载荷S11	均布载荷S11	差值
-50	8.87623	8.87623	0
-45	10.4957	10.4957	0
-40	10.0872	10.0872	0
-35	10.0022	10.0022	0
-30	9.99927	9.99927	0
-25	9.99991	9.99991	0
-20	10	10	0
-15	10	10	0
-10	10	10	0
-5	10	10	0
0	10	10	0
5	10	10	0
10	10	10	0
15	10	10	0
20	10.0001	10	0.0001
25	9.99972	10	-0.00028
30	9.9911	10	-0.0089
35	9.9574	10	-0.0426
40	10.5639	10	0.5639
45	22.3828	10	12.3828
50	1948.33	10	1938.33

表2.2 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S22应力比较

X	集中载荷S22	均布载荷S22	差值
-50	3.449	3.449	0
-45	0.181541	0.181541	0
-40	-0.0448052	-0.0448052	0
-35	-0.00582249	-0.00582249	0
-30	-4.07153E-05	-4.07153E-05	0
-25	5.82346E-05	5.82345E-05	1E-10
-20	5.61251E-06	5.61246E-06	5E-11
-15	-1.2148E-07	-1.21758E-07	2.78E-10
-10	-6.97173E-08	-7.12579E-08	1.5406E-09
-5	2.3356E-09	-5.21618E-09	7.55178E-09
0	2.81916E-08	2.64232E-10	2.79274E-08
5	-1.30203E-08	7.4926E-11	-1.30952E-08
10	-1.53791E-06	3.36547E-12	-1.53791E-06
15	-0.000014944	-4.097E-13	-0.000014944
20	-5.98787E-05	-7.79377E-14	-5.98787E-05
25	0.000140198	2.31509E-13	0.000140198
30	0.00113983	3.13638E-15	0.00113983
35	-0.0399905	3.80251E-15	-0.0399905
40	-0.672806	7.52454E-14	-0.672806
45	-4.43144	-8.54317E-14	-4.43144
50	682.577	-4.13836E-13	682.577

表2.3 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S33应力比较

X	集中载荷S33	均布载荷S33	差值
-50	3.449	3.449	0
-45	0.181541	0.181541	0
-40	-0.0448052	-0.0448052	0
-35	-0.00582249	-0.00582249	0
-30	-4.07153E-05	-4.07153E-05	0
-25	5.82346E-05	5.82345E-05	1E-10
-20	5.61251E-06	5.61246E-06	5E-11
-15	-1.2148E-07	-1.21758E-07	2.78E-10
-10	-6.97174E-08	-7.1258E-08	1.5406E-09
-5	2.33567E-09	-5.21611E-09	7.55178E-09
0	2.81916E-08	2.6429E-10	2.79273E-08
5	-1.30203E-08	7.49479E-11	-1.30952E-08
10	-1.53791E-06	3.43481E-12	-1.53791E-06
15	-0.000014944	-4.53082E-13	-0.000014944
20	-5.98787E-05	-8.99281E-14	-5.98787E-05
25	0.000140198	8.67084E-14	0.000140198
30	0.00113983	5.70655E-14	0.00113983
35	-0.0399905	2.22045E-15	-0.0399905
40	-0.672806	-1.23457E-13	-0.672806
45	-4.43144	1.55764E-13	-4.43144
50	682.577	-3.19744E-13	682.577

表2.4 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S12应力比较

X	集中载荷S12	均布载荷S12	差值
-50	0	0	0
-45	0	0	0
-40	0	0	0
-35	0	0	0
-30	0	0	0
-25	-8.52651E-14	-2.98428E-13	2.13163E-13
-20	-1.50768E-13	-1.4827E-13	-2.498E-15
-15	-1.10134E-13	-1.29674E-13	1.954E-14
-10	-1.82521E-13	-1.87406E-13	4.885E-15
-5	-1.49214E-13	-2.09388E-13	6.0174E-14
0	-1.42109E-13	-4.52416E-14	-9.68674E-14
5	-1.7053E-13	4.47489E-14	-2.15279E-13
10	0	-1.71286E-13	1.71286E-13
15	0	-1.61523E-13	1.61523E-13
20	0	-2.76914E-13	2.76914E-13
25	0	-9.90686E-14	9.90686E-14
30	0	1.018E-13	-1.018E-13
35	0	6.41111E-14	-6.41111E-14
40	0	3.89831E-13	-3.89831E-13
45	0	-5.50768E-15	5.50768E-15
50	0	4.35473E-14	-4.35473E-14

表2.5 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S13应力比较

X	集中载荷S13	均布载荷S13	差值
-50	0	0	0
-45	0	0	0
-40	0	0	0
-35	0	0	0
-30	-2.27374E-13	-2.27374E-13	0
-25	-2.27374E-13	-2.41585E-13	1.4211E-14
-20	-2.93321E-13	-2.921E-13	-1.221E-15
-15	-2.64677E-13	-1.98952E-13	-6.5725E-14
-10	-2.31815E-13	-1.63425E-13	-6.839E-14
-5	-3.05533E-13	-1.72307E-13	-1.33226E-13
0	-4.40536E-13	-3.31013E-13	-1.09523E-13
5	-3.12639E-13	-2.22298E-13	-9.0341E-14
10	0	-4.6596E-14	4.6596E-14
15	0	-6.4631E-14	6.4631E-14
20	0	5.40989E-14	-5.40989E-14
25	0	1.69664E-13	-1.69664E-13
30	0	-3.03531E-13	3.03531E-13
35	0	-2.91012E-13	2.91012E-13
40	0	-1.0803E-13	1.0803E-13
45	0	-4.29756E-13	4.29756E-13
50	0	1.35333E-13	-1.35333E-13

表2.6 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S23应力比较

X	集中载荷S23	均布载荷S23	差值
-50	0	0	0
-45	0	0	0
-40	0	0	0
-35	2.84217E-14	0	2.84217E-14
-30	2.84217E-14	-1.42109E-14	4.26326E-14
-25	2.84217E-14	3.37508E-14	-5.3291E-15
-20	1.90958E-14	2.54241E-14	-6.3283E-15
-15	-1.37113E-14	-1.55986E-14	1.8873E-15
-10	-5.03139E-14	-5.52319E-14	4.918E-15
-5	1.24206E-14	-2.21513E-15	1.46357E-14
0	3.90799E-14	5.78159E-14	-1.8736E-14
5	7.10543E-15	-1.99846E-15	9.10389E-15
10	5.68434E-14	6.66726E-14	-9.8292E-15
15	0	3.93328E-14	-3.93328E-14
20	0	2.20134E-14	-2.20134E-14
25	0	8.48766E-14	-8.48766E-14
30	0	2.39167E-14	-2.39167E-14
35	0	1.18696E-14	-1.18696E-14
40	0	5.65762E-14	-5.65762E-14
45	0	7.4142E-14	-7.4142E-14
50	0	3.31265E-13	-3.31265E-13

在直角坐标系中，绘制图像。

图2.9 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S11应力曲线对比

图2.10 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S22应力曲线对比

图2.11 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S33应力曲线对比

图2.12 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S12应力曲线对比

图2.13 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S13应力曲线对比

图2.14 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S23应力曲线对比

可以发现，上述模拟结果验证了圣维南原理。

第3章分析与总结

圣维南原理是弹性力学中的核心原理之一，其核心内涵为：作用在弹性体某一小区域内的载荷，若被另一组与它静力等效的载荷替代，仅会使该小区域附近的应力分布发生改变，而在远离该区域的地方，应力分布几乎不受影响。本题目通过设计两种静力等效的载荷形式（集中力、均布载荷）作用于弹性体，通过对比不同区域的应力分布数据，验证圣维南原理的正确性。本次分析的核心数据为弹性体中轴线上的 $S11$ （轴向应力）、 $S22$ （竖向应力）、 $S33$ （厚度方向应力）等应力分量数值，通过计算两种载荷形式下各应力分量的差值，量化载荷分布对不同区域应力的影响程度。

在中轴线的 $X=-50$ 至 $X=20$ 区间（远离载荷作用区），集中力（ $1000N$ ）与均布载荷（ $10N/m^2$ ，合力为 $1000N$ ）作用下的 $S11$ 应力数值完全一致，差值为 $0$ ，表明该区域的应力分布不受载荷具体分布形式的影响，仅由载荷合力决定。在 $X=25$ 至 $X=50$ 区间（靠近载荷作用区），两种载荷形式下的S11应力开始出现微小差异，差值从 $X=25$ 处的 $0.5MPa$ 逐渐增大至 $X=50$ 处的 $1938.33MPa$ 。其中，在载荷直接作用区（ $X=50$ 附近），集中力对应的 $S11$ 应力数值高达 $1948.33MPa$ ，而均布载荷对应的 $S11$ 应力仅为 $10MPa$ ，两者差值极为显著。这一差异的核心原因在于，集中力作用下载荷集中于一点，导致该点附近的应力急剧集中；而均布载荷作用下载荷均匀分布在一定区域内，应力分布相对平缓，无明显的局部集中现象。